Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ consiste de un conjunto en el que están definidas dos operaciones, las cuales son: adición y multiplicación por escalares, tal que para cualquier par de elementos $x,y \in V$ exista un elemento único $x + y \in V$, y para cada elemento $\alpha \in F$ y cada elemento $x \in V$ exista un elemento único $\alpha x \in V$, de manera que cumplan las siguientes condiciones: 

1. Propiedad conmutativa de la adición: 

    Para toda $x, y \in V$ $\Rightarrow$ $x + y = y + x$ 

2. Propiedad asociativa de la adición: 

    Para toda $x, y, z \in V$ $\Rightarrow$ $(x + y) + z = x + (y + x)$

3. Existencia de un neutro aditivo 

    Existe un elemento $w \in V$ tal que $x + w = x$ para toda $x$ en $V$

4. Existencia de un inverso aditivo

    Existe un elemento $z \in V$ tal que $x + z = 0$ para cada elemento $x \in V$

5. Propiedad asociativa del producto por escalares

    Para cada par de elementos $\alpha, \beta \in F$ y cada elemento $x \in V$ $\Rightarrow$ ($\alpha \beta$)$x$ = $\alpha$($\beta x$)

6. Existencia de un neutro multiplicativo 

    Para cada elemento $x \in V$ $\Rightarrow$ $1x = x$

7. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores

    Para cada elemento $\alpha \in F$ y cada par de elementos $x,y \in V$ 

    $\Rightarrow$ $\alpha(x + y) = (\alpha x + \alpha y)$

8. Propiedad distributiva del del producto respecto a la suma de escalares

    Para cada par de elemento $\alpha,\beta \in F$ y cada elemento $x \in V$ 

    $\Rightarrow$ $(\alpha + \beta)x = (\alpha x + \beta x)$

En este caso, los elementos del campo $F$ se llaman escalares, mientras que los elementos del espacio vectorial $V$ se llaman vectores. 

También es importante tomar en cuenta que todo espacio vectorial debe considerarse como un espacio vectorial sobre un campo, el cual se denota por $F$.