Matemáticas

Se demostrarán algunas propiedades de espacio vectorial. 1. Unicidad del vector cero ($\mathbb{O}$)     $dem$     Sea $\mathbb{O}$ y $\mathbb{O'}$ dos neutros para $+$, entonces:     $x+\mathbb{O}=x$      $\forall x \in V$     $\Rightarrow \mathbb{O} = \mathbb{O} + \mathbb{O'} = \mathbb{O'}$     $\therefore$ Como $\mathbb{O} = \mathbb{O'}$ se concluye que el vector cero es único 2. El inverso aditivo es único     $dem$     Sean $x \in V$ y $z,w \in V$, los cuales son inversos de $x$, es decir, $x+z=\mathbb{O}=x+w$, entonces:     $z=z+\mathbb{O}=z+(x+w)=(z+x)+w=\mathbb{O}+w=w$     $\Rightarrow z = w$     $\therefore$ Como $z=w$ se concluye que el inverso aditivo es único.  3. $0 \cdot x=\mathbb{O}$     $dem$     Para poder realizar la demostración es necesario tomar en cuenta la Ley de la cancelación        ...

Sea $F$ un campo y $\forall n \in \mathbb{N}$ se define: $F^n = \{(a_1, \ldots, a_n \mid a_i \in F\}$ Sean $\overline{a}, \overline{b} \in F^n$, donde $\overline{a} = (a_1, \ldots , a_n)$ y $\overline{b} = (b_1, \ldots , b_n)$, y $c \in F$ se define la suma y el producto de la siguiente manera:     - $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n)$    - $c \cdot \overline{a} = c \cdot (a_1, \ldots, a_n) = (c \cdot a_1, \ldots, c \cdot a_n)$  Demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial.  $dem$ Para demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera:  1. Conmutatividad de la suma      Sean $\overline{a}$ y $\overline{b}$, entonces:      $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, ...

Sea $X$ un conjunto y $F$ un campo, se define: $F^x$ = {$f : X \longrightarrow F \mid f$ es funcón} Sean $f:X \longrightarrow F$, $g:X \longrightarrow F$ y $c \in F$ se define la suma de funciones y el producto de un elemento de $F$ por una función de la siguiente manera:       $+$: $f+g:X \longrightarrow F$ es la función tal que $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$      $\bullet$: $c \cdot f : X \longrightarrow F$ es la función tal que $(c \cdot f)(x) = c(f(x))$ Demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial. $dem$ Para demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera:  1. Conmutatividad de la suma       Sean $f$ y $g$, entonces:      $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$ $\therefore (f+g)(x)=(g+f)(x)$ 2. Asociatividad de la suma  ...