Matemáticas

Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto definido como $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}$ donde $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \in \mathbb{R}$ es un campo. $dem$ Para demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo. Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donde $x=a+b\sqrt{2}$, $y=c+d\sqrt{2}$ y $z=e+f\sqrt{2}$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera: 1. Cerrado bajo la adición     Sean $x$ y $y$, entonces:     $x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})\\             \hspace{1.1cm}=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in  \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ $\therefore x+y \in  \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 2. Conmutatividad de la adición     Sean $x$ y $y$, entonces:     $x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+...

Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto de los números complejos ($\mathbb{C}$) también es un campo. $dem$ Para demostrar que $\mathbb{C}$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo. Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{C}$ donde $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera: 1. Cerrado bajo la adición      Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:      $x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C}$ $\therefore x+y \in \mathbb{C}$   2. Conmutatividad de la adición      Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:      $x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \\       \hspace{1.1cm}= (c+a) + (d+b)i = (c+a) + (di+bi) = (c+di) + (a+bi)\\       \hspace{1.1cm}= y+x $     ...