Matemáticas

Sea $F$ un campo y $\forall n \in \mathbb{N}$ se define: $F^n = \{(a_1, \ldots, a_n \mid a_i \in F\}$ Sean $\overline{a}, \overline{b} \in F^n$, donde $\overline{a} = (a_1, \ldots , a_n)$ y $\overline{b} = (b_1, \ldots , b_n)$, y $c \in F$ se define la suma y el producto de la siguiente manera:     - $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n)$    - $c \cdot \overline{a} = c \cdot (a_1, \ldots, a_n) = (c \cdot a_1, \ldots, c \cdot a_n)$  Demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial.  $dem$ Para demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera:  1. Conmutatividad de la suma      Sean $\overline{a}$ y $\overline{b}$, entonces:      $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, ...

Sea $X$ un conjunto y $F$ un campo, se define: $F^x$ = {$f : X \longrightarrow F \mid f$ es funcón} Sean $f:X \longrightarrow F$, $g:X \longrightarrow F$ y $c \in F$ se define la suma de funciones y el producto de un elemento de $F$ por una función de la siguiente manera:       $+$: $f+g:X \longrightarrow F$ es la función tal que $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$      $\bullet$: $c \cdot f : X \longrightarrow F$ es la función tal que $(c \cdot f)(x) = c(f(x))$ Demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial. $dem$ Para demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera:  1. Conmutatividad de la suma       Sean $f$ y $g$, entonces:      $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$ $\therefore (f+g)(x)=(g+f)(x)$ 2. Asociatividad de la suma  ...

Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto definido como $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}$ donde $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \in \mathbb{R}$ es un campo. $dem$ Para demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo. Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donde $x=a+b\sqrt{2}$, $y=c+d\sqrt{2}$ y $z=e+f\sqrt{2}$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera: 1. Cerrado bajo la adición     Sean $x$ y $y$, entonces:     $x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})\\             \hspace{1.1cm}=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in  \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ $\therefore x+y \in  \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 2. Conmutatividad de la adición     Sean $x$ y $y$, entonces:     $x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+...

Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto de los números complejos ($\mathbb{C}$) también es un campo. $dem$ Para demostrar que $\mathbb{C}$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo. Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{C}$ donde $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera: 1. Cerrado bajo la adición      Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:      $x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C}$ $\therefore x+y \in \mathbb{C}$   2. Conmutatividad de la adición      Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:      $x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \\       \hspace{1.1cm}= (c+a) + (d+b)i = (c+a) + (di+bi) = (c+di) + (a+bi)\\       \hspace{1.1cm}= y+x $     ...

Un campo $F$ es una terna ordeanda $(F,+,\bullet)$ donde $F$ es un conjunto y $+,\bullet$ son operaciones binarias, es decir:     $+:F \times F \longrightarrow F$     $\bullet: F \times F \longrightarrow F$ El cual, cumple las siguientes propiedades: 1. Cerrado bajo la adición      Para toda $a, b \in F \Rightarrow a + b \in F$ 2. Conmutatividad de la adición      Para toda $a, b \in F \Rightarrow a + b = b + a$ 3. Asociatividad de la adición      Para toda $a, b, c \in F \Rightarrow a + (b + c) = (a + b) + c$ 4. Existencia de un neutro aditivo      Existe $0 \in F$ tal que, para toda $a \in F \Rightarrow 0 + a = a = a + 0$ 5. Existencia de un inverso aditivo      Existe $b \in F$ tal que, para toda $a \in F \Rightarrow a + b = 0 = b + a$ 6. Cerrado bajo el producto      Para toda $a, b \in F \Rightarrow a \cdot b \in F$ 7. Conmutatividad del producto ...

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ consiste de un conjunto en el que están definidas dos operaciones, las cuales son: adición y multiplicación por escalares, tal que para cualquier par de elementos $x,y \in V$ exista un elemento único $x + y \in V$, y para cada elemento $\alpha \in F$ y cada elemento $x \in V$ exista un elemento único $\alpha x \in V$, de manera que cumplan las siguientes condiciones:  1. Propiedad conmutativa de la adición:      Para toda $x, y \in V$ $\Rightarrow$ $x + y = y + x$  2. Propiedad asociativa de la adición:      Para toda $x, y, z \in V$ $\Rightarrow$ $(x + y) + z = x + (y + x)$ 3. Existencia de un neutro aditivo      Existe un elemento $w \in V$ tal que $x + w = x$ para toda $x$ en $V$ 4. Existencia de un inverso aditivo     Existe un elemento $z \in V$ tal que $x + z = 0$ para cada elemento $x \in V$ 5. Propiedad asociativa del producto por escalares ...