Ejemplo de Campo - El conjunto definido como $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}$ es un campo
Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto definido como $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}$ donde $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \in \mathbb{R}$ es un campo.
$dem$
Para demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo.
Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donde $x=a+b\sqrt{2}$, $y=c+d\sqrt{2}$ y $z=e+f\sqrt{2}$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera:
1. Cerrado bajo la adición
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})\\
\hspace{1.1cm}=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
2. Conmutatividad de la adición
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\\
\hspace{1.1cm}=(c+a)+(d+b)\sqrt{2}=(c+a)+(d\sqrt{2}+b\sqrt{2})=(c+d\sqrt{2})+(a+b\sqrt{2})\\
\hspace{1.1cm}=y+x $
3. Asociatividad de la adición
Sean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$(x+y)+z=[(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})]+(e+f\sqrt{2})\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+(b+d)\sqrt{2}]+(e+f\sqrt{2})\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+e]+[(b+d)\sqrt{2}+f\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+e]+[(b+d)+f]\sqrt{2}\\
\hspace{2.3cm}=[a+(c+e)]+[b+(d+f)]\sqrt{2}\\
\hspace{2.3cm}=[a+(c+e)]+[b\sqrt{2}+(d+f)\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=(a+b\sqrt{2})+[(c+e)+(d+f)\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=(a+b\sqrt{2})+[(c+d\sqrt{2})+(e+f\sqrt{2})]\\
\hspace{2.3cm}=x+(y+z)$
4. Existencia de un neutro aditivo
Sea $x$ y $0=0+0\sqrt{2}$, entonces:
$x+0=(a+b\sqrt{2})+(0+0\sqrt{2})=(a+0)+(b\sqrt{2}+0\sqrt{2})=(a+0)+(b+0)\sqrt{2}\\
\hspace{1.1cm}=a+b\sqrt{2}=x$
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x \cdot y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = ac + a(d\sqrt{2}) + (b\sqrt{2})c + (b\sqrt{2}) (d\sqrt{2})\\
\hspace{.9cm}=ac + 2bd + ad\sqrt{2} + cb\sqrt{2}\\
\hspace{.9cm}= ac + 2bd + (ad + cb)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
7. Conmutatividad del producto
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x \cdot y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad + cb)\sqrt{2} = ac + ad\sqrt{2} + bd2 + bc\sqrt{2}\\
\hspace{.9cm}=ac + ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2} + (d\sqrt{2})(b\sqrt{2})= ca + cb\sqrt{2} + d\sqrt{2}a+(d\sqrt{2})(b\sqrt{2})\\
\hspace{.9cm}=(c+d\sqrt{2})(a+b\sqrt{2})$
Sean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$x \cdot (y \cdot z) = (a + b\sqrt{2}) \cdot [(c+d\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})] \\
\hspace{1.8cm}=(a + b\sqrt{2}) \cdot [(ce + 2df) + (cf+de)\sqrt{2}] \\
\hspace{1.8cm}=(ace + 2adf) + (acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2} + (2bcf+2bde) \\
\hspace{1.8cm}=[(ace + 2adf) + (2bcf+2bde)] + [(acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2}] \\$
Ahora se desarrolla lo siguiente:
$(x \cdot y) \cdot z = [(a + b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2})] \cdot (e+f\sqrt{2})\\
\hspace{1.8cm}=[(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}] \cdot (e+f\sqrt{2}) \\
\hspace{1.8cm}=(eac+2ebd)+(afc+2bdf)\sqrt{2}+(ead+ebc)\sqrt{2}+(2fad+2fbc)\\
\hspace{1.8cm}=[(eac+2ebd)+(2fad+2fbc)]+[(afc+2bdf)\sqrt{2}+(ead+ebc)\sqrt{2}]\\
\hspace{1.8cm}=[(ace + 2adf) + (2bcf+2bde)] + [(acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2}] $.
9. Existencia de un neutro multiplicativo
Sea $x$ y $1=1+0\sqrt{2}$, entonces:
$x \cdot 1 = (a+b\sqrt{2}) \cdot (1+0\sqrt{2})=a + a0\sqrt{2}+1b\sqrt{2}+2b0 = a + b\sqrt{2} = x$
10. Existencia de un inverso multiplicativo
Sea $x=a+b\sqrt{2}$, entonces existe un x' tal que $x \cdot x'=1$;de esa manera, se encuentra el valor
$\hspace{.02cm}$que toma $x'$.
Sea $x'=g+h\sqrt{2}$, se desarrolla lo siguiente:
$x \cdot x'=(ag + 2bh) + (ah + bg)\sqrt{2} =1 \Leftrightarrow ag+2bh=1$ y $(ah+bg)\sqrt{2}=0$
Que se puede tomar como un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve de la siguiente manera:
$\Rightarrow a^2h-2b^2h=-b$
Sustituyendo el valor de $h$ en $ah+bg=0$
$a \left(\frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)+bg=$ $ \left(\frac{-ab}{(a^2-2b^2)}\right)+bg=$ $ \frac{-ab+bg(a^2-2b^2)}{(a^2-2b^2)}=0\\$
$\Rightarrow -ab+bg(a^2-2b^2)=0$
$\Rightarrow bg(a^2-2b^2)=ab$
$\Rightarrow g = \frac{ab}{b(a^2-2b^2)}$
$=\frac{a^2}{(a^2-2b^2)}+$$ \frac{-2b^2}{(a^2-2b^2)}$
$=\frac{a^2-2b^2}{(a^2-2b^2)}$
$=1$
Sean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$x \cdot (y+z) = (a+b\sqrt{2}) \cdot [(c+d\sqrt{2}) + (e+f\sqrt{2})]$
$= (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) + (a+b\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})$
$= [(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}] + [(ae+2bf)+(af+be)\sqrt{2}]$
$= x \cdot y + x \cdot z$
$dem$
Para demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo.
Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ donde $x=a+b\sqrt{2}$, $y=c+d\sqrt{2}$ y $z=e+f\sqrt{2}$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera:
1. Cerrado bajo la adición
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})\\
\hspace{1.1cm}=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
$\therefore x+y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x+y=(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b\sqrt{2}+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\\
\hspace{1.1cm}=(c+a)+(d+b)\sqrt{2}=(c+a)+(d\sqrt{2}+b\sqrt{2})=(c+d\sqrt{2})+(a+b\sqrt{2})\\
\hspace{1.1cm}=y+x $
$\therefore x+y = y+x$
3. Asociatividad de la adición
Sean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$(x+y)+z=[(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})]+(e+f\sqrt{2})\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+(b+d)\sqrt{2}]+(e+f\sqrt{2})\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+e]+[(b+d)\sqrt{2}+f\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=[(a+c)+e]+[(b+d)+f]\sqrt{2}\\
\hspace{2.3cm}=[a+(c+e)]+[b+(d+f)]\sqrt{2}\\
\hspace{2.3cm}=[a+(c+e)]+[b\sqrt{2}+(d+f)\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=(a+b\sqrt{2})+[(c+e)+(d+f)\sqrt{2}]\\
\hspace{2.3cm}=(a+b\sqrt{2})+[(c+d\sqrt{2})+(e+f\sqrt{2})]\\
\hspace{2.3cm}=x+(y+z)$
$\therefore (x+y)+z=x+(y+z)$
Sea $x$ y $0=0+0\sqrt{2}$, entonces:
$x+0=(a+b\sqrt{2})+(0+0\sqrt{2})=(a+0)+(b\sqrt{2}+0\sqrt{2})=(a+0)+(b+0)\sqrt{2}\\
\hspace{1.1cm}=a+b\sqrt{2}=x$
$\therefore 0 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
5. Existencia de un inverso aditivo
Sea $x$ y $-x=-(a+b\sqrt{2})=-a+(-b\sqrt{2})$, entonces:
$x+(-x)=(a+b\sqrt{2})+[-a+(-b\sqrt{2})]=[a+(-a)]+[b\sqrt{2}+(-b\sqrt{2})]\\
\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[b+(-b)]\sqrt{2}=(a-a)+(b-b)\sqrt{2}\\
\hspace{1.9cm}=0+0\sqrt{2}=0$
6. Cerrado bajo el producto$x+(-x)=(a+b\sqrt{2})+[-a+(-b\sqrt{2})]=[a+(-a)]+[b\sqrt{2}+(-b\sqrt{2})]\\
\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[b+(-b)]\sqrt{2}=(a-a)+(b-b)\sqrt{2}\\
\hspace{1.9cm}=0+0\sqrt{2}=0$
$\therefore -x \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x \cdot y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = ac + a(d\sqrt{2}) + (b\sqrt{2})c + (b\sqrt{2}) (d\sqrt{2})\\
\hspace{.9cm}=ac + 2bd + ad\sqrt{2} + cb\sqrt{2}\\
\hspace{.9cm}= ac + 2bd + (ad + cb)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
$\therefore x \cdot y \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
Sean $x$ y $y$, entonces:
$x \cdot y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad + cb)\sqrt{2} = ac + ad\sqrt{2} + bd2 + bc\sqrt{2}\\
\hspace{.9cm}=ac + ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2} + (d\sqrt{2})(b\sqrt{2})= ca + cb\sqrt{2} + d\sqrt{2}a+(d\sqrt{2})(b\sqrt{2})\\
\hspace{.9cm}=(c+d\sqrt{2})(a+b\sqrt{2})$
$\therefore x \cdot y = y \cdot x$
8. Asociatividad del productoSean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$x \cdot (y \cdot z) = (a + b\sqrt{2}) \cdot [(c+d\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})] \\
\hspace{1.8cm}=(a + b\sqrt{2}) \cdot [(ce + 2df) + (cf+de)\sqrt{2}] \\
\hspace{1.8cm}=(ace + 2adf) + (acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2} + (2bcf+2bde) \\
\hspace{1.8cm}=[(ace + 2adf) + (2bcf+2bde)] + [(acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2}] \\$
Ahora se desarrolla lo siguiente:
$(x \cdot y) \cdot z = [(a + b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2})] \cdot (e+f\sqrt{2})\\
\hspace{1.8cm}=[(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}] \cdot (e+f\sqrt{2}) \\
\hspace{1.8cm}=(eac+2ebd)+(afc+2bdf)\sqrt{2}+(ead+ebc)\sqrt{2}+(2fad+2fbc)\\
\hspace{1.8cm}=[(eac+2ebd)+(2fad+2fbc)]+[(afc+2bdf)\sqrt{2}+(ead+ebc)\sqrt{2}]\\
\hspace{1.8cm}=[(ace + 2adf) + (2bcf+2bde)] + [(acf+ade)\sqrt{2}+(bce + 2bdf)\sqrt{2}] $.
$\therefore x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$
9. Existencia de un neutro multiplicativo
Sea $x$ y $1=1+0\sqrt{2}$, entonces:
$x \cdot 1 = (a+b\sqrt{2}) \cdot (1+0\sqrt{2})=a + a0\sqrt{2}+1b\sqrt{2}+2b0 = a + b\sqrt{2} = x$
$\therefore 1=1+0\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
Sea $x=a+b\sqrt{2}$, entonces existe un x' tal que $x \cdot x'=1$;de esa manera, se encuentra el valor
$\hspace{.02cm}$que toma $x'$.
Sea $x'=g+h\sqrt{2}$, se desarrolla lo siguiente:
$x \cdot x'=(ag + 2bh) + (ah + bg)\sqrt{2} =1 \Leftrightarrow ag+2bh=1$ y $(ah+bg)\sqrt{2}=0$
Que se puede tomar como un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve de la siguiente manera:
$\begin{equation*} \begin{aligned} ag+2bh= 1\\ ah+bg=0 \end{aligned} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{aligned} (-b)(ag+2bh= 1)\\ a(ah+bg=0) \end{aligned} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{aligned} -bag-2b^2h=-b\\ a^2h+abg=0 \end{aligned} \end{equation*}\\$
$\Rightarrow a^2h-2b^2h=-b$
$\Rightarrow h(a^2-2b^2)=-b$
$\therefore h = \frac{-b}{(a^2-2b^2)}$
Sustituyendo el valor de $h$ en $ah+bg=0$
$a \left(\frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)+bg=$ $ \left(\frac{-ab}{(a^2-2b^2)}\right)+bg=$ $ \frac{-ab+bg(a^2-2b^2)}{(a^2-2b^2)}=0\\$
$\Rightarrow -ab+bg(a^2-2b^2)=0$
$\Rightarrow bg(a^2-2b^2)=ab$
$\Rightarrow g = \frac{ab}{b(a^2-2b^2)}$
$\therefore g = \frac{a}{(a^2-2b^2)}$
Por lo desarrollado se tiene que $x'=g+hi=$$\left(\frac{a}{(a^2-2b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)i\\$
Ahora se comprueba que realmente sea el inverso multiplicativo
$x \cdot x'=(a+b\sqrt{2}) \cdot$$\left(\frac{a}{(a^2-2b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}$
$=\frac{a^2}{(a^2-2b^2)}+$$a\left( \frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}+$$b\sqrt{2}\left(\frac{a}{(a^2-2b^2)}\right)+$$b\sqrt{2}\left( \frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}$
$=\frac{a^2}{(a^2-2b^2)}+$$-\left( \frac{ab}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}+$$\left(\frac{ba}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}+$$\left( \frac{-(b^2)}{(a^2-2b^2)}\right)(2)$$=\frac{a^2}{(a^2-2b^2)}+$$ \frac{-2b^2}{(a^2-2b^2)}$
$=\frac{a^2-2b^2}{(a^2-2b^2)}$
$=1$
$\therefore x'=$$\left(\frac{a}{(a^2-2b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2-2b^2)}\right)\sqrt{2}\\$$ \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$
Que es el inverso multiplicativo
11. DistributividadSean $x$, $y$ y $z$, entonces:
$x \cdot (y+z) = (a+b\sqrt{2}) \cdot [(c+d\sqrt{2}) + (e+f\sqrt{2})]$
$= (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) + (a+b\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})$
$= [(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}] + [(ae+2bf)+(af+be)\sqrt{2}]$
$= x \cdot y + x \cdot z$
$\therefore x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
$\therefore$ Por lo desarrollado se concluye que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo
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