Ejemplo de Campo - El Conjunto de los Números Complejos $(\mathbb{C})$ es un Campo
Suponiendo que el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) es un campo. Demostrar que el conjunto de los números complejos ($\mathbb{C}$) también es un campo.
$dem$
Para demostrar que $\mathbb{C}$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo.
Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{C}$ donde $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera:
1. Cerrado bajo la adición
Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C}$
2. Conmutatividad de la adición
Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \\
\hspace{1.1cm}= (c+a) + (d+b)i = (c+a) + (di+bi) = (c+di) + (a+bi)\\
\hspace{1.1cm}= y+x $
3. Asociatividad de la adición
Sean $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$(x + y) + z = [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi) = [(a+c) + (b+d)i] + (e+fi)\\
\hspace{2.3cm}= [(a+c) + e] + [(b+d)i + fi] = [(a+c) + e] + [(b+d) + f]i\\
\hspace{2.3cm}= [a + (c+e)] + [b + (d + f)]i = [a + (c+e)] + [bi + (d+f)i]\\
\hspace{2.3cm}= (a+bi) + [(c+e) + (d + f)i] = (a+bi) + [(c+di) + (e + fi)]\\
\hspace{2.3cm}= x + (y+z)$
4. Existencia de un neutro aditivo
Sea $x=a+bi$ y $0=0+0i$ el nuetro aditivo, entonces:
$x+0=(a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(bi+0i)=(a+0)+(b+0)i=a+bi\\
\hspace{1.1cm}=x$
5. Existencia de un inverso aditivo
\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[bi+(-bi)]\\
\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[b+(-b)]i=0+0i=0$
6. Cerrado bajo el producto
Sea $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x\cdot y=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+a(di)+(bi)c+(bi)(di)$
$\hspace{1cm}=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)(i^2)$
$\hspace{1.4cm}$ Como $i= \sqrt{-1} \Rightarrow i^2=-1$
$\hspace{1cm}=ac+(ad)i+(bc)i-bd=(ac-bd)+[(ad)i+(bc)i]\\
\hspace{.9cm}=(ac-bd)+(ad+bc)i$
El cual es un número complejo.
7. Conmutatividad del producto
Sea $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x\cdot y=(ac-bd)+(ad+cb)i=(ac-bd)+[(ad)i+(bc)i]\\
\hspace{.85cm}=ac+(ad)i+(bc)i-bd=ac+(bc)i+(ad)i-bd\\
\hspace{.85cm}=ca+c(bi)+a(di)+(bd)i^2=ca+c(bi)+(di)a+(di)(bi)\\
\hspace{.85cm}=(c+di)(a+bi)\\
\hspace{.85cm}=y \cdot x$
8. Asociatividad del producto
Sea $x=a+bi$,$y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$x\cdot (y \cdot z)=(a+bi) \cdot [(c+di) \cdot (e+fi)]=(a+bi) \cdot [(ce-df)+(cf+de)i]\\
\hspace{1.8cm}=a(ce-di)+a[(cf+de)i]+bi(ce-df)+bi[(cf+de)i]\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(acf+ade)i+(bce-bdf)i+(bcf-bde)(i^2)\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(-bcf-bde)+[(acf+ade)+(bce-bdf)]i$
Ahora se desarrolla lo siguiente:
$(x\cdot y) \cdot z=[(a+bi) \cdot (c+di)] \cdot (e+fi)=[(ac-bd)+(ad+bc)i] \cdot (e+fi)\\
\hspace{1.8cm}=(ac-bd)e+(ac-bd)fi+[(ad+bc)i]e+[(ad+bc)i]fi\\
\hspace{1.8cm}=(ace-bde)+(acf-bdf)i+(ade+bce)i+(adf+bcf)(i^2)\\
\hspace{1.8cm}=(ace-bde)+(-adf-bcf)+[(acf-bdf)+(ade+bce)]i\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(-bcf-bde)+[(acf+ade)+(bce-bdf)]i$
9. Existencia de un neutro multiplicativo
Sea $x=a+bi$, el neutro multiplicativo se desarrolla de la siguiente manera:
$x \cdot 1 = (a+bi) \cdot 1 = a+bi$
10. Existencia de un inverso multiplicativo
Sea $x=a+bi$, entonces existe un x' tal que $x \cdot x'=1$; de esa manera, se encuentra el valor $\hspace{.02cm}$que toma $x'$.
Sea $x'=g+hi$, se desarrolla lo siguiente:
$x \cdot x'=(ag - bh) + (ah + bg)i =1 \Leftrightarrow ag-bh=1$ y $ah+bg=0$
Que se puede tomar como un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve de la siguiente manera:
Sustituyendo el valor de $h$ en $ah+bg=0$
$a \left(\frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)+bg=$ $ \left(\frac{-ab}{(a^2+b^2)}\right)+bg=$ $ \frac{-ab+bg(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)}=0\\$
$\Rightarrow -ab+bg(a^2+b^2)=0$
$\Rightarrow bg(a^2+b^2)=ab$
$\Rightarrow g = \frac{ab}{b(a^2+b^2)}$
$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$-\left( \frac{ab}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left(\frac{ba}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left( \frac{-(b^2)}{(a^2+b^2)}\right)(-1)$
$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$ \frac{b^2}{(a^2+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)}$
$=1$
11. Distributividad
Sean $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$x \cdot (y+z) = (a+bi) \cdot [(c+di) + (e+fi)] = (a+bi) \cdot (c+di) + (a+bi) \cdot (e+fi)$
$= [(ac-bd)+(ad+bc)i] + [(ae-bf)+(af+be)i] = x \cdot y + x \cdot z$
$dem$
Para demostrar que $\mathbb{C}$ es un campo con las operaciones + y $\bullet$ se debe probar que cumple con las propiedades de campo.
Entonces, sean $x,y,z \in \mathbb{C}$ donde $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, se prueba que cumple con las propiedades de la siguiente manera:
1. Cerrado bajo la adición
Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C}$
$\therefore x+y \in \mathbb{C}$
2. Conmutatividad de la adición
Sean $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x + y = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (bi+di) = (a+c) + (b+d)i \\
\hspace{1.1cm}= (c+a) + (d+b)i = (c+a) + (di+bi) = (c+di) + (a+bi)\\
\hspace{1.1cm}= y+x $
$\therefore x+y = y+x$
3. Asociatividad de la adición
Sean $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$(x + y) + z = [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi) = [(a+c) + (b+d)i] + (e+fi)\\
\hspace{2.3cm}= [(a+c) + e] + [(b+d)i + fi] = [(a+c) + e] + [(b+d) + f]i\\
\hspace{2.3cm}= [a + (c+e)] + [b + (d + f)]i = [a + (c+e)] + [bi + (d+f)i]\\
\hspace{2.3cm}= (a+bi) + [(c+e) + (d + f)i] = (a+bi) + [(c+di) + (e + fi)]\\
\hspace{2.3cm}= x + (y+z)$
$\therefore (x+y)+z = x+(y+z)$
4. Existencia de un neutro aditivo
Sea $x=a+bi$ y $0=0+0i$ el nuetro aditivo, entonces:
$x+0=(a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(bi+0i)=(a+0)+(b+0)i=a+bi\\
\hspace{1.1cm}=x$
$\therefore 0=0+0i \in \mathbb{C}$
Sea $x=a+bi$ y $-x=-(a+bi)=-a+(-b)i$ el inverso aditivo, entonces:
$x+(-x)=(a+bi)+[-(a+bi)]=(a+bi)+[-a+(-b)i]\\\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[bi+(-bi)]\\
\hspace{1.9cm}=[a+(-a)]+[b+(-b)]i=0+0i=0$
$\therefore -x=-(a+bi) \in \mathbb{C}$
6. Cerrado bajo el producto
Sea $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x\cdot y=(a+bi) \cdot (c+di)=ac+a(di)+(bi)c+(bi)(di)$
$\hspace{1cm}=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)(i^2)$
$\hspace{1.4cm}$ Como $i= \sqrt{-1} \Rightarrow i^2=-1$
$\hspace{1cm}=ac+(ad)i+(bc)i-bd=(ac-bd)+[(ad)i+(bc)i]\\
\hspace{.9cm}=(ac-bd)+(ad+bc)i$
El cual es un número complejo.
$\therefore x \cdot y \in \mathbb{C}$
7. Conmutatividad del producto
Sea $x=a+bi$ y $y=c+di$, entonces:
$x\cdot y=(ac-bd)+(ad+cb)i=(ac-bd)+[(ad)i+(bc)i]\\
\hspace{.85cm}=ac+(ad)i+(bc)i-bd=ac+(bc)i+(ad)i-bd\\
\hspace{.85cm}=ca+c(bi)+a(di)+(bd)i^2=ca+c(bi)+(di)a+(di)(bi)\\
\hspace{.85cm}=(c+di)(a+bi)\\
\hspace{.85cm}=y \cdot x$
$\therefore x \cdot y = y \cdot x$
8. Asociatividad del producto
Sea $x=a+bi$,$y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$x\cdot (y \cdot z)=(a+bi) \cdot [(c+di) \cdot (e+fi)]=(a+bi) \cdot [(ce-df)+(cf+de)i]\\
\hspace{1.8cm}=a(ce-di)+a[(cf+de)i]+bi(ce-df)+bi[(cf+de)i]\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(acf+ade)i+(bce-bdf)i+(bcf-bde)(i^2)\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(-bcf-bde)+[(acf+ade)+(bce-bdf)]i$
Ahora se desarrolla lo siguiente:
$(x\cdot y) \cdot z=[(a+bi) \cdot (c+di)] \cdot (e+fi)=[(ac-bd)+(ad+bc)i] \cdot (e+fi)\\
\hspace{1.8cm}=(ac-bd)e+(ac-bd)fi+[(ad+bc)i]e+[(ad+bc)i]fi\\
\hspace{1.8cm}=(ace-bde)+(acf-bdf)i+(ade+bce)i+(adf+bcf)(i^2)\\
\hspace{1.8cm}=(ace-bde)+(-adf-bcf)+[(acf-bdf)+(ade+bce)]i\\
\hspace{1.8cm}=(ace-adf)+(-bcf-bde)+[(acf+ade)+(bce-bdf)]i$
$\therefore x\cdot (y \cdot z) = (x\cdot y) \cdot z$
9. Existencia de un neutro multiplicativo
Sea $x=a+bi$, el neutro multiplicativo se desarrolla de la siguiente manera:
$x \cdot 1 = (a+bi) \cdot 1 = a+bi$
$\therefore 1 \in \mathbb{C}$
10. Existencia de un inverso multiplicativo
Sea $x=a+bi$, entonces existe un x' tal que $x \cdot x'=1$; de esa manera, se encuentra el valor $\hspace{.02cm}$que toma $x'$.
Sea $x'=g+hi$, se desarrolla lo siguiente:
$x \cdot x'=(ag - bh) + (ah + bg)i =1 \Leftrightarrow ag-bh=1$ y $ah+bg=0$
Que se puede tomar como un sistema de ecuaciones, el cual se resuelve de la siguiente manera:
$\begin{equation*} \begin{aligned}
ag-bh= 1\\
ah+bg=0 \end{aligned} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{aligned}
-b(ag-bh= 1)\\ a(ah+bg=0) \end{aligned} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{aligned} -abg+b^2h=-b\\ a^2h+abg=0 \end{aligned} \end{equation*}\\$
$\Rightarrow a^2h+b^2h=-b$
$\Rightarrow h(a^2+b^2)=-b$
$\therefore h = \frac{-b}{(a^2+b^2)}$
Sustituyendo el valor de $h$ en $ah+bg=0$
$a \left(\frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)+bg=$ $ \left(\frac{-ab}{(a^2+b^2)}\right)+bg=$ $ \frac{-ab+bg(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)}=0\\$
$\Rightarrow -ab+bg(a^2+b^2)=0$
$\Rightarrow bg(a^2+b^2)=ab$
$\Rightarrow g = \frac{ab}{b(a^2+b^2)}$
$\therefore g = \frac{a}{(a^2+b^2)}$
Por lo desarrollado se tiene que $x'=g+hi=$$\left(\frac{a}{(a^2+b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)i\\$
Ahora se comprueba que realmente sea el inverso multiplicativo
$x \cdot x'=(a+bi) \cdot$$\left(\frac{a}{(a^2+b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)i$
$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$a\left( \frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)i+$$bi\left(\frac{a}{(a^2+b^2)}\right)+$$bi\left( \frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)i$
$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$-\left( \frac{ab}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left(\frac{ba}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left( \frac{-(b^2)}{(a^2+b^2)}\right)(i^2)$$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$-\left( \frac{ab}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left(\frac{ba}{(a^2+b^2)}\right)i+$$\left( \frac{-(b^2)}{(a^2+b^2)}\right)(-1)$
$=\frac{a^2}{(a^2+b^2)}+$$ \frac{b^2}{(a^2+b^2)}$
$=\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)}$
$=1$
$\therefore x'=$$\left(\frac{a}{(a^2+b^2)}\right)+$$\left( \frac{-b}{(a^2+b^2)}\right)i\\$$ \in \mathbb{C}$
Que es el inverso multiplicativo
11. Distributividad
Sean $x=a+bi$, $y=c+di$ y $z=e+fi$, entonces:
$x \cdot (y+z) = (a+bi) \cdot [(c+di) + (e+fi)] = (a+bi) \cdot (c+di) + (a+bi) \cdot (e+fi)$
$= [(ac-bd)+(ad+bc)i] + [(ae-bf)+(af+be)i] = x \cdot y + x \cdot z$
$\therefore x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
$\therefore$ Por lo desarrollado se concluye que $\mathbb{C}$ es un campo
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