Algunas propiedades de espacio vectorial

Se demostrarán algunas propiedades de espacio vectorial.

1. Unicidad del vector cero ($\mathbb{O}$)
    $dem$
    Sea $\mathbb{O}$ y $\mathbb{O'}$ dos neutros para $+$, entonces:
    $x+\mathbb{O}=x$      $\forall x \in V$
    $\Rightarrow \mathbb{O} = \mathbb{O} + \mathbb{O'} = \mathbb{O'}$

    $\therefore$ Como $\mathbb{O} = \mathbb{O'}$ se concluye que el vector cero es único

2. El inverso aditivo es único
    $dem$
    Sean $x \in V$ y $z,w \in V$, los cuales son inversos de $x$, es decir, $x+z=\mathbb{O}=x+w$, entonces:
    $z=z+\mathbb{O}=z+(x+w)=(z+x)+w=\mathbb{O}+w=w$
    $\Rightarrow z = w$

    $\therefore$ Como $z=w$ se concluye que el inverso aditivo es único. 

3. $0 \cdot x=\mathbb{O}$
    $dem$
    Para poder realizar la demostración es necesario tomar en cuenta la Ley de la cancelación
     
       Ley de la cancelación
       Si $x, y, z \in V \Rightarrow x+y=x+z \Rightarrow y=z$
       $dem$
       $(-x)+x+y=(-x)+x+z$
       $\Rightarrow [(-x)+x]+y=[(-x)+x]+z$
       $\Rightarrow \mathbb{O} + y = \mathbb{O} + z$
       $\Rightarrow y = z$
   
     Por lo anterior, se desarrolla lo siguiente:
     $\mathbb{O} = (0+0) \cdot x = (0 \cdot x) + (0 \cdot x) \Rightarrow \mathbb{O} = 0 \cdot x$

$\therefore$ $0 \cdot x = \mathbb{O}$ 

       
4. Si $a \in F$, entonces $a \cdot \mathbb{O} = \mathbb{O}$
    $dem$
    Se desarrolla lo siguiente:
    $a \cdot \mathbb{O} = a \cdot (0 \cdot x) = (a \cdot 0) \cdot x = 0 \cdot x = \mathbb{O}$

$\therefore a \cdot \mathbb{O} = \mathbb{O}$ 

 
5. $(-1) \cdot x = -x$
    $dem$
    En este caso se tiene $P.D$  $\mathbb{O} = (-1) \cdot x = -x$, lo cual se desarrola de la siguiente manera:
    $\mathbb{O} = [(-1) \cdot x] + (1 \cdot x) = [(-1) + 1] \cdot x = 0 \cdot x = \mathbb{O}$

    Por lo desarrollado se tiene que:
    $(-x + x) = (-1) \cdot x + x = \mathbb{O}$

    $\therefore (-1) \cdot x = -x$