Ejemplo de Espacio Vectorial: El conjunto definido como $F^n = \{(a_1, \ldots , a_n) \mid a_i \in F\}$ es un espacio vectorial

Sea $F$ un campo y $\forall n \in \mathbb{N}$ se define:

$F^n = \{(a_1, \ldots, a_n \mid a_i \in F\}$

Sean $\overline{a}, \overline{b} \in F^n$, donde $\overline{a} = (a_1, \ldots , a_n)$ y $\overline{b} = (b_1, \ldots , b_n)$, y $c \in F$ se define la suma y el producto de la siguiente manera: 

   - $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n)$

   - $c \cdot \overline{a} = c \cdot (a_1, \ldots, a_n) = (c \cdot a_1, \ldots, c \cdot a_n)$ 

Demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial. 

$dem$

Para demostrar que $F^n$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera: 

1. Conmutatividad de la suma 

    Sean $\overline{a}$ y $\overline{b}$, entonces: 

    $\overline{a} + \overline{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, b_n)$                                                            

                $=(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_{n-1} + b_{n-1}, a_n + b_n)$ 

                $= (b_1 + a_1 , b_2 + a_2 , \ldots, b_{n-1} + a_{n-1}  , b_n + a_n )$ 

                $= (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, b_n) + (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n)$                                                   

                $= \overline{b} + \overline{a}$ 

$\therefore \overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}$

2. Asociatividad de la suma

    Sean $\overline{a}, \overline{b}$ y  $\overline{c}$, entonces: 

    $(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} = [(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)+(b_1,b_2,\ldots,b_{n-1},b_n)]+(c_1,c_2,\ldots,c_{n-1},c_n)$

                             $=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_{n-1}+b_{n-1},a_n+b_n)+(c_1,c_2,\ldots,c_{n-1},c_n)$

                             $=[(a_1+b_1)+c_1,(a_2+b_2)+c_2,\ldots,(a_{n-1}+b_{n-1})+c_{n-1},$                                                              $(a_n+b_n)+c_n]$

                             $=[a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2),\ldots,a_{n-1}+(b_{n-1}+c_{n-1}),$

                                   $a_n+(b_n+c_n)]$

                             $=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)+(b_1+c_1,b_2+c_2,\ldots,b_{n-1}+c_{n-1},b_n+c_n)$

                             $=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)+[(b_1,b_2,\ldots,b_{n-1},b_n)+(c_1,c_2,\ldots,c_{n-1},c_n)]$

                             $=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$

$\therefore (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} =\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$

                 

3. Inverso aditivo 

    Sean $\overline{a}$ y $\overline{-a}=(-a_1,-a_2,\ldots,-a_{n-1},-a_n)$, entonces: 

    $\overline{a}+(\overline{-a})=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)+(-a_1,-a_2,\ldots,-a_{n-1},-a_n)$                          

                         $=(a_1+(-a_1),a_2+(-a_2),\ldots,a_{n-1}+(-a_{n-1}),a_n+(-a_n)$

                         $=(a_1-a_1,a_2-a_2,\ldots,a_{n-1}-a_{n-1},a_n-a_n)$

                         $=(0,0,\ldots,0,0)=\overline{0}$

$\therefore \overline{-a} \in F^n$

4. Neutro aditivo

    Sean $\overline{a}$ y $\overline{0}=(0,0,\ldots,0,0), entonces: 

    $\overline{a}+\overline{0}=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)+(0,0,\ldots,0,0)$

                 $=((a_1+0,a_2+0,\ldots,a_{n-1}+0,a_n+0)$

                 $=(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)=\overline{a}$

$\therefore \overline{0} \in F^n$

5. Neutro multiplicativo 

    Sean $\overline{a}$ y $1 \in F^x$, entonces:

    $1 \cdot \overline{a} = 1 \cdot (a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)$

              $= (1 \cdot a_1,1 \cdot a_2,\ldots,1 \cdot a_{n-1},1 \cdot a_n)$

              $= (a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)=\overline{a}$

$\therefore 1 \in F^n$

   

6. Asociatividad del producto por escalares

    Sean $\alpha, \beta \in F$ y $\overline{a} \in F^n$, entonces: 

    $(\alpha \cdot \beta) \cdot \overline{a} = (\alpha \cdot \beta) \cdot (a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)$

                         $= [(\alpha \cdot \beta) \cdot a_1,(\alpha \cdot \beta) \cdot a_2,\ldots,(\alpha \cdot \beta) \cdot a_{n-1},(\alpha \cdot \beta) \cdot a_n]$

                         $= [\alpha \cdot (\beta \cdot a_1),\alpha \cdot (\beta \cdot a_2),\ldots,\alpha \cdot (\beta \cdot a_{n-1}),\alpha \cdot (\beta \cdot a_n)]$

                         $= \alpha \cdot (\beta \cdot a_1,\beta \cdot a_2,\ldots,\beta \cdot a_{n-1},\beta \cdot a_n)$                    

                         $= \alpha \cdot [\beta(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n) = \alpha \cdot (\beta \cdot \overline{a})$

$\therefore (\alpha \cdot \beta) \cdot \overline{a} = \alpha \cdot (\beta \cdot \overline{a})$

7. Distributividad del producto respecto a la suma de vectores

    Sean $\alpha \in F$ y $\overline{a},\overline{b} \in F^n$, entonces:

    $\alpha \cdot (\overline{a}+\overline{b})=\alpha[(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, b_n)]$                                                                             $=\alpha \cdot (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_{n-1} + b_{n-1}, a_n + b_n)$

                           $=[\alpha \cdot(a_1 + b_1),\alpha \cdot (a_2 + b_2), \ldots,\alpha \cdot (a_{n-1} + b_{n-1}),\alpha \cdot (a_n + b_n)]$

                           $=[(\alpha \cdot a_1) + (\alpha \cdot b_1),(\alpha \cdot a_2) + (\alpha \cdot b_2), \ldots,(\alpha \cdot a_{n-1}) + (\alpha \cdot b_{n-1}),$

                                  $(\alpha \cdot a_n) + (\alpha \cdot b_n)]$

                           $=(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2 , \ldots,\alpha \cdot a_{n-1} ,\alpha \cdot a_n) +$                              

                                $(\alpha \cdot b_1,\alpha \cdot b_2,\ldots, \alpha \cdot b_{n-1}+ \alpha \cdot b_n)$

                           $=\alpha \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + \alpha \cdot (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, b_n)$

                           $=\alpha \cdot \overline{a} + \alpha \cdot \overline{b}$

$\therefore \alpha \cdot (\overline{a}+\overline{b})=\alpha \cdot \overline{a} + \alpha \cdot \overline{b}$ 

8. Distributividad del producto respecto a la suma de escalares

    Sean $\alpha, \beta \in F$ y $\overline{a} \in F^n$, entonces: 

    $(\alpha + \beta) \cdot \overline{a} = (\alpha + \beta) \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n)$

                           $=[(\alpha + \beta) \cdot a_1,(\alpha + \beta) \cdot a_2, \ldots,(\alpha + \beta) \cdot a_{n-1},(\alpha + \beta) \cdot a_n]$

                           $=[(\alpha \cdot a_1) + (\beta \cdot a_1),(\alpha \cdot a_2) + (\beta \cdot a_2), \ldots, (\alpha \cdot a_{n-1}) + (\beta \cdot a_{n-1}),$

                                  $(\alpha \cdot a_n) + (\beta \cdot a_n))$

                           $=(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2, \ldots,\alpha \cdot a_{n-1},\alpha \cdot a_n) + (\beta \cdot a_1,\beta \cdot a_2, \ldots,\beta \cdot a_{n-1},\beta \cdot a_n)$

                           $=\alpha \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n) + \beta \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n)$    

                           $=\alpha \cdot \overline{a} + \beta \cdot \overline{a}$    

$\therefore (\alpha + \beta) \cdot \overline{a} =\alpha \cdot \overline{a} + \beta \cdot \overline{a}$

Por lo desarrollado se concluye que el conjunto $F^n$ es un espacio vectorial