Ejemplo de Espacio Vectorial: El conjunto definido como $F^x$ = {$f: X \longrightarrow F \mid$ f es función} es un espacio vectorial

Sea $X$ un conjunto y $F$ un campo, se define:

$F^x$ = {$f : X \longrightarrow F \mid f$ es funcón}

Sean $f:X \longrightarrow F$, $g:X \longrightarrow F$ y $c \in F$ se define la suma de funciones y el producto de un elemento de $F$ por una función de la siguiente manera: 

     $+$: $f+g:X \longrightarrow F$ es la función tal que $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

     $\bullet$: $c \cdot f : X \longrightarrow F$ es la función tal que $(c \cdot f)(x) = c(f(x))$

Demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial.

$dem$

Para demostrar que $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial se debe probar que cumple con las propiedades de espacio vectorial, lo cual se llevará a cabo de la siguiente manera: 

1. Conmutatividad de la suma  

    Sean $f$ y $g$, entonces: 

    $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$

$\therefore (f+g)(x)=(g+f)(x)$

2. Asociatividad de la suma 

    Sean $f$, $g$ y $h$, entonces: 

    $[(f+g)+h](x) = [(f+g)(x)]+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x)$
                                       $=f(x)+[g(x)+h(x)]=f(x)+[(g+h)(x)]$
                                       $=[f+(g+h)](x)$

$\therefore [(f+g)+h](x) = [f+(g+h)](x)$

3. Inverso aditivo 

    Sean $f$ y $-f:X \longrightarrow F$, entonces: 

    $[f+(-f)](x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0$

   $\therefore -f:X \longrightarrow F \in F^x$

4. Neutro aditivo 

    Sea $f$ y $\mathbb{O}:X \longrightarrow F$, entonces: 

    $(f+\mathbb{O})(x)=f(x)+\mathbb{O}(x)=f(x)+0=f(x)$

$\therefore \mathbb{O} \in F^x$

5. Neutro multiplicativo 

    Sea $f$ y $1:X \longrightarrow F$, entonces: 

    $(f \cdot 1)(x) = f(x) \cdot 1(x) = f(x) \cdot 1 = f(x)$

 $\therefore 1:X \longrightarrow F \in F^x$

6. Asociatividad del producto por escalares

    Sea $\alpha$,$\beta$ $\in F$  y $f \in F^x$, entonces: 

    $[(\alpha \cdot \beta) \cdot f](x) = (\alpha \cdot \beta) \cdot f(x) = \alpha \cdot [\beta \cdot f(x)] = [\alpha \cdot (\beta \cdot f)](x)$

$\therefore [(\alpha \cdot \beta) \cdot f](x) = [\alpha \cdot (\beta \cdot f)](x)$

7. Distributividad del producto respecto a la suma de vectores

    Sea $\alpha \in F$ y $f$,$g \in F^x$, entonces: 

    $[\alpha \cdot (f+g)](x) = \alpha \cdot [(f+g)(x)] = \alpha \cdot [f(x) + g(x)] = \alpha \cdot f(x) + \alpha \cdot g(x)$ 

                                    $= (\alpha \cdot f)(x) + (\alpha \cdot g)(x) = (\alpha \cdot f + \alpha \cdot g)(x)$

$\therefore [\alpha \cdot (f+g)](x) = (\alpha \cdot f + \alpha \cdot g)(x)$

8. Distributividad del prodcuto respecto a la suma de escalares

    Sea $\alpha$, $\beta \in F$ y $f \in F^x$, entonces: 

    $[(\alpha + \beta) \cdot f](x)=(\alpha + \beta) \cdot f(x) = [\alpha \cdot f(x)] + [\beta \cdot f(x)] = (\alpha \cdot f)(x) + (\beta \cdot f)(x)$ 

                                     $= [(\alpha \cdot f) + (\beta \cdot f)](x)$

$\therefore [(\alpha + \beta) \cdot f](x) = [(\alpha \cdot f) + (\beta \cdot f)](x)$

Por lo desarrollado se concluye que el conjunto $(F^x,+,\bullet,\mathbb{O},F)$ es un espacio vectorial.